Jeu vidéo (d'après la banque de sujets E3C)

Un jeu vidéo fait évoluer un personnage sur un parcours semé d'obstacles.

Au début du parcours, ce personnage est doté de 1 000 pions noirs dans son sac et il n'a pas de pion blanc. Le nombre de pions noirs diminue au cours du jeu. Le personnage gagne 10 pions blancs par minute jouée.

Chaque partie est chronométrée et dure 45 minutes. Au bout des 45 minutes, la partie s'arrête et le joueur a gagné si le nombre de pions blancs gagnés par son personnage est supérieur ou égal au nombre de pions noirs restant dans le sac.

1. Étude de l'évolution du nombre de pions blancs

On note `u_n` le nombre de pions blancs obtenus au bout de `n` minutes de jeu. Ainsi `u_0=0` .

Déterminer la nature de la suite `u` et en déduire, pour tout entier naturel `n` , l'expression de `u_n` en fonction de `n` .

2. Étude de l'évolution du nombre de pions noirs

Lucas estime qu'au cours d'une partie, le nombre de pions noirs de son personnage diminue de 2 % par minute. Il voudrait savoir si cette évolution est suffisante pour gagner ou s'il doit poursuivre son entraînement.

On note `v_n` le nombre de pions noirs restant à la `n` -ième minute. Ainsi \(v_0=1~000\) .

    a. Justifier que `v_1=980` .

    b. Calculer `v_2` . La suite `v` est-elle une suite arithmétique ? Justifier.

    c. Exprimer, pour tout entier naturel `n` , `v_{n+1}`  en fonction de `v_n` .

3. Comparaison du nombre de pions blancs et du nombre de pions noirs

Lucas a calculé les premiers termes des suites `u` et `v` à l'aide d'un tableur. La feuille de calcul est donnée ci-dessous. Les termes de la suite `v` ont été arrondis à l'unité.

    a. Après avoir complété la colonne A et les lignes 1 et 2, quelles formules a-t-il pu entrer dans les cellules B3 et C3 et recopier vers le bas ?

    b. Lucas peut-il gagner la partie ?